Интересно, кто сразу решит. Без фактического вычисления x найти значение x^7 + 1/x^7,если x + 1/x = 1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обратим внимание на куб уравнения x + 1/x = 1:

(x + 1/x)^3 = 1

При раскрытии скобок получаем:

x^3 + 1 + 3x^2 (1/x) + 3x (1/x)^2 + (1/x)^3 = 1

x^3 + 1 + 3x + 3/x + 1/x^3 = 1

Подставим полученное в уравнение x^7 + 1/x^7:

(x^7 + 1/x^7) = (x^3 + 1/x^3) * (x^4 + 1/x^4) - (x + 1/x)

(x^7 + 1/x^7) = (3x + 3/x) * (x^4 + 1/x^4) - 1

Теперь воспользуемся известным выражением x^4 + 1/x^4:

(x^4 + 1/x^4) = (x^2 + 1/x^2)^2 - 2

(x^4 + 1/x^4) = (1 - 2)^2 - 2 = 1 - 2 - 2 = -3

Подставляем в изначальное уравнение:

(x^7 + 1/x^7) = (3x + 3/x) * (-3) - 1

(x^7 + 1/x^7) = -9x - 9/x - 1

Осталось вспомнить условие x + 1/x = 1:

(x^2 + 1/x^2) = (x + 1/x)^2 - 2 = 1 - 2 = -1

(x^7 + 1/x^7) = -9 * 1 - 9 - 1 = -10

Итак, x^7 + 1/x^7 = -10.