Уравнение с параметром |x^2-a^2|=|x-a|√(2x+a^2-4a)
Найти все значения параметра "а", при которых уравнение будет иметь два решения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассмотрим возможные случаи:

Если x < a:
x^2 - a^2 = -x + a√(2x + a^2 - 4a)
x^2 + x - a^2 - a√(2x + a^2 - 4a) = 0Если x > a:
x^2 - a^2 = x - a√(2x + a^2 - 4a)
x^2 - x - a^2 + a√(2x + a^2 - 4a) = 0

Чтобы уравнение имело два решения, необходимо, чтобы дискриминант был больше или равен нулю:

Для первого случая:
D1 = 1 + 4(a^2 + a√(2x + a^2 - 4a))
D1 >= 0
4(a^2 + a√(2x + a^2 - 4a)) >= -1
a√(2x + a^2 - 4a)) >= - 1/4
√(2x + a^2 - 4a)) >= - 1/4a
2x + a^2 - 4a >= 1/16a^2
2x >= 1/16a^2 + 4a - a^2
x >= 1/32a^2 + 2a - a^2/2
x >= (1/32 - 1/2)a^2 + 2a

Для второго случая:
D2 = 1 + 4(a^2 - a√(2x + a^2 - 4a))
D2 >= 0
4(a^2 - a√(2x + a^2 - 4a)) >= -1
a√(2x + a^2 - 4a) <= 1/4
√(2x + a^2 - 4a) <= 1/4a
2x + a^2 - 4a <= 1/16a^2
2x <= 1/16a^2 + 4a - a^2
x <= 1/32a^2 + 2a - a^2/2
x <= (1/32 - 1/2)a^2 + 2a

Таким образом, условиями существования двух решений уравнения будут неравенства:
x >= (1/32 - 1/2)a^2 + 2a
x <= (1/32 - 1/2)a^2 + 2a

При выполнении данных условий уравнение будет иметь два решения.