Как можно доказать, что n^5 при делении на 10 даёт остаток, равный последней цифре числа n

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Рассмотрим любое число n, которое можно представить в виде n = 10k + a, где k - целое число, a - последняя цифра числа n.

Тогда n^5 = (10k + a)^5 = 10^5k^5 + 510^4k^4a + 10^3k^3a^2 + 510^2k^2a^3 + 10k*a^4 + a^5.

Заметим, что все члены в правой части кроме последнего содержат множитель 10, следовательно, они делятся на 10 без остатка.

Таким образом, остаток от деления n^5 на 10 равен остатку только от последнего члена a^5, то есть последней цифры числа n.

Таким образом, доказано, что при делении n^5 на 10 остаток равен последней цифре числа n.