Физика. Небесная механика Спутник движется по круговой орбите на высоте h=500 км вокруг сферической планеты радиусом R=6000 км, лишённой атмосферы. Двигатели спутника включаются на небольшое время, работая на торможение. Найдите минимальное уменьшение скорости спутника (в процентах от начального значения), которое позволит спутнику попасть на поверхность планеты. Ответ округлите до десятых.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы спутник попал на поверхность планеты, ему необходимо уменьшить скорость до такой величины, при которой центростремительное ускорение будет равно ускорению свободного падения на поверхности планеты.

Центростремительное ускорение для круговой орбиты выражается как:
[a_c = \frac{v^2}{r}]

Ускорение свободного падения на поверхности планеты равно (g = \frac{Gm}{R^2}), где (G) - гравитационная постоянная, (m) - масса планеты.

Тогда имеем:
[\frac{v^2}{R+h} = \frac{Gm}{R^2}]

и

[\frac{v_2^2}{R} = \frac{Gm}{R^2}]

Где (v_2) - скорость спутника после торможения.

Из условия задачи получаем, что (v_2 = v - \Delta v), где (\Delta v) - минимальное уменьшение скорости, необходимое для падения на планету.

Тогда имеем:
[\frac{(v-\Delta v)^2}{R} = \frac{Gm}{R^2}]

Подставляем (v = \sqrt{\frac{Gm}{R+h}}) и решаем относительно (\Delta v):

[\frac{(\sqrt{\frac{Gm}{R+h}}-\Delta v)^2}{R} = \frac{Gm}{R^2}]

[\frac{Gm}{R+h} - 2\Delta v\sqrt{\frac{Gm}{R+h}} + \Delta v^2 = \frac{Gm}{R}]

[\Delta v = \sqrt{\frac{Gm}{R}} - \sqrt{\frac{Gm}{R+h}}]

Теперь найдем минимальное уменьшение скорости в процентах от начального значения:
[\Delta v_{\%} = \frac{\Delta v}{v} \times 100]

Подставляем известные значения (G=6.674 \times 10^{-11} \ м^3/(кг \cdot с^2)), (m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho), где (\rho) - плотность планеты, (R = 6 \times 10^6 \ м), (h = 5 \times 10^5 \ м) и получаем ответ:

[\Delta v_{\%} \approx 40.3 \% ]