-14/(x-5)^2-2 ≥ 0 решите неравенство Добрый день!
Вот такое есть неравенство: -14/(x-5)^2-2 ≥ 0. Уже завтра нужно сдавать, а я никак не разберусь, запутался со знаками. Рассчитываю на вашу помощь. Спасибо заранее.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте посмотрим как можно решить данное неравенство.

-14/(x-5)^2 - 2 ≥ 0

Сначала выразим -14/(x-5)^2 на одну дробь:

-14/(x-5)^2 - 2 ≥ 0
(-14 - 2(x-5)^2) / (x-5)^2 ≥ 0
(-14 - 2(x^2 - 10x + 25)) / (x-5)^2 ≥ 0
(-14 - 2x^2 + 20x - 50) / (x-5)^2 ≥ 0
(-2x^2 + 20x - 64) / (x-5)^2 ≥ 0

Теперь найдем корни уравнения -2x^2 + 20x - 64 = 0:

-2x^2 + 20x - 64 = 0
x^2 - 10x + 32 = 0
D = (-10)^2 - 4132 = 100 - 128 = -28 (D < 0)
Корни уравнения отсутствуют, значит уравнение -2x^2 + 20x - 64 = 0 не имеет решений

Теперь построим знаки функции (-2x^2 + 20x - 64) и найдем интервалы, где данное неравенство выполняется. Для этого выясним, при каких x функция равна нулю:

-2x^2 + 20x - 64 = 0
-2(x^2 - 10x + 32) = 0
x^2 - 10x + 32 = 0
(x-8)(x-4) = 0
x = 8 или x = 4

Получаем две точки разрыва на числовой прямой: x = 4 и x = 8.

Мы получили три интервала: (-∞,4), (4,8), (8,∞). Подставим в каждый интервал тестовую точку, например x=0, x=6, x=10:

В интервале (-∞,4):
(-20^2 + 200 - 64) / (0-5)^2 = -64 / 25 < 0

В интервале (4,8):
(-26^2 + 206 - 64) / (6-5)^2 = -168 / 1 < 0

В интервале (8,∞):
(-210^2 + 2010 - 64) / (10-5)^2 = -244 / 25 < 0

Итак, неравенство -14/(x-5)^2 - 2 ≥ 0 выполняется на интервалах (-∞,4) и (8,∞).