Xy'+y = y^2 решите дифференциальное уравнение Я ученик 10-го класса, мы начали готовиться к ЕГЭ,
Задали решить такое уравнение xy’+y = y^2
Помогите пожалуйста с решением.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано дифференциальное уравнение:

xy' + y = y^2

Для начала преобразуем его к виду, удобному для решения. Вынесем y налево:

xy' = y^2 - y

Теперь поделим обе части уравнения на y(y-1):

x * (y' - 1/y) = y

Теперь сделаем замену переменной z = y/x:

y' = z + z'

Подставим это в исходное уравнение:

x(z + z') - 1 = z^2

xz + xz' - 1 = z^2

x(z' - z) = z^2 + 1

x(z'/z - 1) = z^2 + 1

Теперь разделим обе части на z^2:

x(z'/z^2 - 1/z) = 1 + 1/z^2

Интегрируем обе части уравнения:

ln|z| + 1/z = 1/x + C

Обратно заменим z на y/x:

ln|y/x| + 1/(y/x) = 1/x + C

ln|y| + x/y = 1/x + C

Это окончательное решение дифференциального уравнения xy' + y = y^2.