Решение многочленов. Алгебра. Найдите все многочлены P(x), для которых при всех x выполнено равенство P(x)=P(x+1).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть многочлен P(x) имеет вид P(x) = an*x^n + a{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0, где a_i - коэффициенты многочлена и n - его степень.

Тогда по условию имеем P(x) = P(x+1), что эквивалентно an*x^n + a{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = an*(x+1)^n + a{n-1}(x+1)^{n-1} + ... + a_1(x+1) + a_0.

Преобразуем правую часть выражения:
an*(x+1)^n + a{n-1}(x+1)^{n-1} + ... + a_1(x+1) + a_0 = an*x^n + a{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 + an + a{n-1}C_n^1x^{n-1} + ... + a_1C_n^{n-1}(x+1) + a_0*C_n^n,

где C_n^k - биномиальный коэффициент.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной x в левой и правой частях равенства, получаем:
a_n = an,
a{n-1} = a_nCn^1 + a{n-1},
...
a_1 = a_nCn^{n-1} + a{n-1}C_n^{n-2} + ... + a_1,
a_0 = a_nCn^n + a{n-1}C_n^{n-1} + ... + a_1C_n + a_0.

Таким образом, все многочлены P(x) неизменны при прибавлении единицы к переменной x и имеют вид:
P(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n, где a_i - произвольные константы.