Натуральное число n>18 таково, что числа n-1 и n+1 - простые. Докажите, что число n имеет не менее восьми натуральных делителей.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку числа n-1 и n+1 - простые, то они оба нечетные. Следовательно, n - четное число.

Так как n четное, то имеет делители 1, 2, n/2 и n. Кроме того, из условия известно, что n-1 и n+1 - простые числа. Следовательно, n не делится на 3 и на все простые числа, меньшие n-1 и n+1.

Таким образом, все делители числа n имеют вид 2^k, где k=0, 1, n/2-1, n/2, n-1, n+1. Поскольку n-1 и n+1 - простые числа, то n-1 и n+1 не делятся на числа, кроме 1 и самих себя. Следовательно, их делители не входят в делители числа n.

Таким образом, все делители числа n имеют вид 2^k, где k=0, 1, n/2-1, n/2, n-1, n+1, итого не менее восьми натуральных делителей.

Таким образом, мы доказали, что если число n>18 и числа n-1 и n+1 являются простыми числами, то число n имеет не менее восьми натуральных делителей.