Нужно решить пример Найти градиент, уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности x^2+y^2+z^2-XY+3z=7 в точке М ( 1;2;1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Найдем градиент поверхности:
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - XY + 3z - 7

Частные производные по x, y и z:
∂f/∂x = 2x - y
∂f/∂y = 2y - x
∂f/∂z = 2z + 3

Градиент ∇f(x, y, z) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) = (2x - y, 2y - x, 2z + 3)

Найдем значение градиента в точке M(1, 2, 1):
∇f(1, 2, 1) = (21 - 2, 22 - 1, 2*1 + 3) = (0, 3, 5)

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M(1, 2, 1):
Уравнение касательной плоскости имеет вид:
0(x - 1) + 3(y - 2) + 5*(z - 1) = 0
3(y - 2) + 5(z - 1) = 0
3y - 6 + 5z - 5 = 0
3y + 5z = 11

Найдем уравнение нормали к поверхности в точке M(1, 2, 1):
Уравнение нормали имеет вид:
(x - 1)/0 = (y - 2)/3 = (z - 1)/5

Уравнение нормали:
x - 1 = 0
y - 2 = 3t
z - 1 = 5t

где t - параметр.

Ответ:

Градиент поверхности: ∇f(x, y, z) = (2x - y, 2y - x, 2z + 3)Градиент в точке M(1, 2, 1): (0, 3, 5)Уравнение касательной плоскости: 3y + 5z = 11Уравнение нормали: x - 1 = 0, y - 2 = 3t, z - 1 = 5t