Необходимо доказать, что модуль разности y² и любого точного квадрата не меньше |2y – 1| Необходимо доказать, что модуль разности y² и любого точного квадрата (если y ≥ 0 и квадраты различны) не меньше |2y – 1|.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала раскроем модуль |2y - 1|:
|2y - 1| =
= 2y - 1, если 2y - 1 >= 0 (т.е. y >= 0.5) -> y > 0.5
= -(2y - 1), если 2y - 1 < 0 (т.е. y < 0.5) -> y < 0.5.

Теперь докажем, что для всех y (y >= 0.5) выполняется условие:
y^2 - k^2 >= |2y - 1|
y^2 - k^2 >= 2y - 1, если 2y - 1 >= 0
y^2 - k^2 >= -(2y - 1), если 2y - 1 < 0

Итак, если y > 0.5, то условие выполняется.Если y <= 0.5:
y^2 - k^2 >= -(2y - 1)
y^2 - k^2 >= 1 - 2y
k^2 - y^2 <= 2y - 1
(k + y)(k - y) <= 2y - 1
Так как k^2- y^2 = (k - y)(k + y) => (k + y)(k - y) = k^2 - y^2.,
то
0 <= 2y - 1, что верно для всех y

Таким образом, при всех значениях y справедливо утверждение, что модуль разности y² и любого точного квадрата не меньше |2y – 1|.