Точка А движется по гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника.Доказать, что сумма расстояний от этой точки до катетов не изменяется.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка А движется по гипотенузе треугольника, который образован катетами с длиной a и b. Пусть координаты точки A на плоскости меняются от (0, 0) до (a, b).

Расстояние от точки A до первого катета (первого отрезка) можно найти с помощью теоремы Пифагора:

d1 = sqrt(x^2 + y^2),

где x и y - координаты точки A.

Расстояние от точки A до второго катета (второго отрезка) также можно найти по теореме Пифагора:

d2 = sqrt((a - x)^2 + (b - y)^2).

Сумма расстояний до катетов равна:

d1 + d2 = sqrt(x^2 + y^2) + sqrt((a - x)^2 + (b - y)^2).

Для доказательства того, что эта сумма расстояний не изменяется, нужно убедиться, что она постоянна для всех значений x и y на прямой от (0,0) до (a,b).

Преобразуем выражение d1 + d2:

d1 + d2 = sqrt(x^2 + y^2) + sqrt((a - x)^2 + (b - y)^2) =
= sqrt(x^2 + y^2) + sqrt(a^2 - 2ax + x^2 + b^2 - 2by + y^2) =
= sqrt(x^2 + y^2) + sqrt(a^2 + b^2 - 2ax - 2by + x^2 + y^2) =
= sqrt(a^2 + b^2) + sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2).

Таким образом, сумма расстояний от точки А до катетов равна постоянной величине sqrt(a^2 + b^2). Следовательно, при движении точки А по гипотенузе треугольника сумма расстояний от точки до катетов не изменяется.