Дан куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра 1 ед. изм. На ребре A1D1 находится точка M — так, что A1M:MD1=1:4. Определи синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью(BB1D1D).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем длину отрезка AM. По условию, A1M:MD1=1:4, значит AM=1, MD1=4.
Теперь рассмотрим треугольник AMD. По теореме Пифагора:
AD^2 = AM^2 + MD^2
AD^2 = 1^2 + 4^2
AD = √(1+16) = √17

Теперь найдем синус угла φ между прямой AM и плоскостью (BB1D1D). Для этого найдем косинус этого угла, он равен проекции вектора AM на нормаль к плоскости, деленной на длину вектора AM.

Косинус угла φ = (AM∙n) / (|AM|)
AM - вектор направленный от A к M, примем его за вектор (1, 0, 4), n - нормаль к плоскости (BB1D1D), чтобы найти нормаль, достаточно взять векторное произведение отрезков BB1 и BD1.
BB1 = (0, 1, 1) BD1 = (1, 1, 1)
n = BB1 x BD1
n = (1i-1j+1k) = n(i+j+k)
Произведение найдем по правилу векторного произведения матриц:
(nx, ny, nz) = (11-11)i + (-(11-11))j + (11-(-11))k = 0i - 0j + 2k
(nx, ny, nz) = (0, 0, 2)

Теперь найдем скалярное произведение: AMnx+AMny+AMnz = (10 + 0 + 4*2) = 8

Теперь найдем длину вектора AM: |AM| = √(1^2 + 0^2 + 4^2) = √17

Тогда косинус угла φ = 8 / √17

И наконец, синус угла φ = sin(φ) = √(1 - cos^2(φ)) = √(1 - (8/√17)^2) ≈ 0,746.