В треугольнике ABCD с прямым углом C вписана окружность с центром O ,касающаяся сторон AB,BC и CA в точках D, E и F. Известно, что OC = 2 √2. Найдите радиус окружности, углы EOF и EDF

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку $O$ - центр вписанной окружности, то $O$ - также центр внутренней окружности треугольника $ACB$ (обозначим ее через $O_1$).

Так как $O_1$ - центр вписанной окружности, а $AC$ и $AB$ являются касательными, то $O_1C$ является медианой треугольника $ACB$ соответственно angle $C$. Поэтому $O_1C$ делит $\angle{ACB}$ пополам.

Таким образом, мы имеем, что $\angle{ACB} = 90^{\circ}$ (для касания с прямой $AB$) и $\angle{ACO} = 45^{\circ}$. Зная, что $OC = 2\sqrt{2}$, мы можем рассмотреть треугольники $AOC$. По теореме Пифагора $AC = \sqrt{8 + 8} = 4$. Таким образом, угол $\triangle{AOC} = \angle{AOC} = 90^{\circ}$.

Из правильного треугольника $AOC$ мы можем найти радиус вписанной окружности $r$ через формулу: $r = \frac{AC + AO - OC}{2} = \frac{4 + 4 - 2\sqrt{2}}{2} = 3 - \sqrt{2}$.

Теперь рассмотрим уголы: $\angle EOF = \frac{\angle AOC}{2} = 45^{\circ}$, $\angle EDF = \angle EOF = 45^{\circ}$.

Таким образом, радиус вписанной окружности равен $3 - \sqrt{2}$, угол EOF равен $45^{\circ}$, а угол EDF также равен $45^{\circ}$.