Маленькое тело массой m и зарядом q может свободно двигаться вдоль отрезка длиной 10L, соединяющего неподвижные точечные заряды 2q и 3q, причём в начальный момент тело покоилось в середине этого отрезка. Найдите ускорение a тела в тот момент времени, когда оно будет находиться на наименьшем расстоянии от заряда 2q.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем положение тела в зависимости от времени t. Обозначим расстояние от тела до заряда 2q как x. Тогда расстояние от тела до заряда 3q будет 10L-x.

Используем закон сохранения энергии:

(E{\text{начальная}} = E{\text{конечная}})

(0 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{kq(2q)}{x} + \frac{kq(3q)}{10L-x})

где (v) - скорость тела.

Производя дифференцирование данного уравнения, получим:

(ma = kq(\frac{2q}{x^2} - \frac{3q}{(10L-x)^2}))

(а = kq(\frac{2q}{mx^2} - \frac{3q}{m(10L-x)^2}))

(а = \frac{kq^2}{m}(\frac{2}{x^2} - \frac{3}{(10L-x)^2}))

Теперь найдем наименьшее расстояние от тела до заряда 2q. Для этого продифференцируем а по х и приравняем значение к нулю:

(\frac{dа}{dx} = 0)

(\frac{d}{dx}(\frac{kq^2}{m}(\frac{2}{x^2} - \frac{3}{(10L-x)^2})) = 0)

(0 = -\frac{2kq^2}{mx^3} + \frac{3kq^2}{m(10L-x)^3})

(\frac{2}{x^3} = \frac{3}{(10L-x)^3})

(2(10L-x)^3 = 3x^3)

(2(10L-x) = x)

(20L-2x = x)

(3x = 20L)

(x = \frac{20L}{3})

Таким образом, наименьшее расстояние от тела до заряда 2q равно (\frac{20L}{3}), и ускорение тела в этот момент времени равно (\frac{kq^2}{m}(\frac{2}{(\frac{20L}{3})^2} - \frac{3}{(10L-\frac{20L}{3})^2})).