Вокруг некоторой планеты обращаются по круговым траекториям два
искусственных спутника. Радиус орбиты первого спутника R1, его скорость υ1, радиус
орбиты второго спутника R2 = 3R1. Чему равна скорость υ2 второго спутника?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения механической энергии. Поскольку спутники движутся по круговым траекториям, их кинетическая энергия K = 1/2 m υ^2 и потенциальная энергия P = - G M m / r, где m - масса спутника, υ - его скорость, G - гравитационная постоянная, M - масса планеты, r - расстояние от центра планеты.

Так как энергия сохраняется, сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной. Таким образом, K1 + P1 = K2 + P2

Для первого спутника:
K1 = 1/2 m υ1^2
P1 = - G M m / R1

Для второго спутника:
K2 = 1/2 m υ2^2
P2 = - G M m / (3R1)

Таким образом, уравнение сохранения энергии примет вид:
1/2 m υ1^2 - G M m / R1 = 1/2 m υ2^2 - G M m / (3R1)

Упрощаем уравнение:
υ1^2 - 2 G M / R1 = υ2^2 - 2 G M / (3R1)

Так как R2 = 3R1, можем записать υ2 = √(υ1^2 - 2 G M / R1 + 2 G M / (3R1)), что равняется √(υ1^2 + 4 G M / 3R1)

Таким образом, скорость второго спутника равна √(υ1^2 + 4 G M / 3R1)