Два спутника вращаются вокруг Земли в одном направлении по круговым орбитам, причём радиус орбиты второго спутника в 3 раза больше радиуса орбиты первого спутника: r2=3r1. Величина скорости движения спутника 1 в системе отсчёта, связанной с центром Земли (но не вращающейся вместе с Землёй), равна v1=3 км/с. Два спутника вращаются вокруг Земли в одном направлении по круговым орбитам, причём радиус орбиты второго спутника в 3 раза больше радиуса орбиты первого спутника: r2=3r1. Величина скорости движения спутника 1 в системе отсчёта, связанной с центром Земли (но не вращающейся вместе с Землёй), равна v1=3 км/с. Найдите скорость спутника 2 относительно спутника 1, когда они находятся друг над другом на прямой, проходящей через центр Земли.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения скорости спутника 2 относительно спутника 1 в момент, когда они находятся на одной линии, проходящей через центр Земли, можно воспользоваться законом сохранения механической энергии.

Пусть v2 - скорость спутника 2 относительно Земли и v1 - скорость спутника 1 относительно Земли. Тогда v2 = v1 + Δv, где Δv - искомая скорость спутника 2 относительно спутника 1.

Закон сохранения механической энергии можно записать как:
E1 = E2,
где E1 - механическая энергия спутника 1, E2 - механическая энергия спутника 2.

Механическая энергия спутника в круговой орбите равна:
E = -GmM/2r + mv^2/2,
где G - гравитационная постоянная, m - масса спутника, M - масса Земли, r - радиус орбиты спутника, v - скорость спутника.

Таким образом, для спутника 1 (с радиусом орбиты r1) имеем:
E1 = -GmM/2r1 + mv1^2/2.

Для спутника 2 (с радиусом орбиты r2) имеем:
E2 = -GmM/2r2 + mv2^2/2.

Так как спутники находятся на одной линии, проходящей через центр Земли, то можно считать, что у них одна и та же потенциальная энергия, т.е. GmM/r1 = GmM/r2. Тогда соотношение между механическими энергиями спутников примет вид:
-mv1^2/2 = -m(v1+Δv)^2/2,
откуда получаем:
v1^2 = (v1+Δv)^2,
и следовательно:
v1^2 = v1^2 + 2v1Δv + Δv^2,
отсюда получаем:
2v1Δv + Δv^2 = 0,
или:
Δv(2v1 + Δv) = 0.

Из этого соотношения следует, что либо Δv = 0, что не имеет физического смысла, либо 2v1 + Δv = 0. Учитывая, что v1 = 3 км/с, мы получаем:
6 + Δv = 0,
откуда:
Δv = -6 км/с.

Следовательно, скорость спутника 2 относительно спутника 1 составляет -6 км/с.